PRÓLOGO
Desde hace millones de años, cuando Dios hizo al hombre, lo hizo con una computadora u ordenador maravilloso en su cerebro. Para comprobar esto, basta con taparnos los ojos y veremos, una pantalla negra en tres dimensiones, en donde podemos imaginar millones y millones de cosas, en todas las posiciones imaginables, millones y millones de casos y de cuentos, podemos viajar por todo el universo sin gastar energía y a gran velocidad. Podemos cambiar de colores nuestro espacio negro y hasta lo podemos hacer invisible y tenerlo ante nosotros, mientras cambiamos cifras, rayas y dibujos en él, para resolver nuestros problemas.
Y tenemos en nuestro cerebro, más millones de circuitos, que el mejor ordenador fabricado hasta la fecha. Y funciona en base a la lógica, es decir, somos los más grandes matemáticos de todo el reino animal. No necesita corriente, basta con tomar un buen desayuno para que funcione bien toda la mañana.
Entonces ¿porqué nos asustan tanto las matemáticas y nos causan tanto tropiezo? Es, porque las matemáticas se enseñan mal, porque a sus principios les han cambiado el nombre y se han olvidado de sus secretos lógicos.
Matemátikos, llamaban los griegos, al que se dedicaba a estudiar los números y sus relaciones con las figuras y las cosas. Pero, las matemáticas se debieran llamar simplificación, porque simplifican estas relaciones de los números con las figuras y las cosas. Los números, para los primeros hombres fueron palitos y piedritas o semillas. Más tarde los Lidios y los griegos los representaban con las letras de su alfabeto. Los romanos, hicieron la primera simplificación de los números letras, al reducir a sólo 7 letras, I, V, X, L, C, D y M, la representación de todos los números y con estos podían representar hasta millones y un poco más. Pero, todavía era difícil hacer operaciones con estos números y fueron los mayas y los hindúes, los que al descubrir el cero, simplificaron las operaciones y se llegó al desarrollo de las matemáticas y de su estudio tal como es hoy en día.
Hasta hace poco, científicos matemáticos, llevaban junto a sí, manuales con tablas de cifras. El Vade me cum, o vademécum, que quiere decir, va conmigo, en latín y que, eran varios volúmenes o tomos de tablas, para cada ocupación y oficio. Esto, ha sido reemplazado por la calculadora electrónica científica, que es un pequeño instrumento manual, que funciona por medio de la electricidad (una pila o batería) que contiene todos los tomos y volúmenes, de todas las ciencias y oficios y que puede llevar uno consigo en el bolsillo.
Al muchacho, se le da una computadora desde los primeros años y se le enseña computación. Pero el niño tiene su cerebro, la mejor computadora, hecha por el mismo Dios y sobre todo, tiene una gran memoria, con millones y millones de circuitos, más que cualquier sofisticado ordenador, fabricado actualmente. Enseñémosle al niño a usar su cerebro y memoria adecuadamente y dotémosle de una calculadora y un metro de madera plegable, para que aprenda a medir y progresaremos más rápido en el estudio de las matemáticas.
La simplificación de los números, ya está en nuestro cerebro, lo que tenemos que hacer, es sacarla de él, para que nos sirva adecuadamente. En ese insignificante libro, veremos que con sólo sabiendo usar las cuatro operaciones de la aritmética, puedes diseñar y construir casas esferoidales, de nueva arquitectura, bellas, ligeras, fuertes, con luz por los cuatro costados y con molinos de viento para producir electricidad. Estamos en el siglo XXI y ya es hora de cambiar las casitas rectangulares, de madera, adobe, ladrillos, piedra y techo de paja o de tejas y hacer las nuevas casas modernas y bellas, de hoy en día.
SIMPLIFICACIÓN
Para simplificar el uso de los números, se debe comenzar por desarrollar la memoria del niño. Se dice que un ordenador o computadora es mejor que otra si tiene más gigas de memoria. Qué diremos del cerebro recién formado del niño, que tiene millones de gigas más que cualquier computadora. Sus millones y millones neuronas podrán gastarse y morir conforme avanza en edad, pero en cambio las usa a todas desde un comienzo.
Se han visto casos de niños, que recitan poemas de cinco estrofas, sin dificultad alguna y esto sin saber leer ni escribir. Una niña de cinco años aprendió a contar del 1 al 49 y regresar restando del 49 hasta el 1, sin saber leer ni escribir, nada más porque su mamá le enseñó a contar así. Demás está enseñar a los niños, a contar por medio de la filosofía.
Los números y sus relaciones ya están en nuestro cerebro y en vano intentan de meterlas en él, profesores y educadores por medio de reglas y repeticiones. Más bien lo que hay que hacer, es sacarlos de él y fijarlos en la memoria, para que pueda usarlos el niño, según convenga. El sabio francés Blaise Pascal a los 12 años, muy impaciente, descubrió por sí mismo, los teoremas de la geometría hasta el postulado treinta y dos, del primer libro de Euclides. Esto sin haber aprendido todavía la geometría. ¡Las sacó de su cerebro! Lo mismo han hecho los grandes matemáticos del mundo.
La primera máquina de calcular que inventaron los hombres fue la balanza. En vano dicen algunos que inventaron la palanca y la rueda. Pero creemos que primero fue la balanza. Los romanos la llamaban bi-lanx y de allí ha pasado a todos los idiomas de la gente civilizada. Balanza, Balance, Bilanz, Bilancia, Bilança. Y quiere decir dos platillos, porque tiene dos platillos colgados y equilibrados, uno a cado lado de un brazo que equilibra horizontal sobre un borde filudo, que le sirve de fulcro o de apoyo. Cuando las pesas de un lado se contrapesan con el material del otro lado, la balanza está en equilibrio, los dos platillos están al mismo nivel y el fiel de la balanza marca el centro. (Fig. 1)
Para mantener este equilibrio, si aumentamos o disminuimos pesos o números en un platillo, debemos también aumentar o disminuir la misma cantidad en el otro platillo. Si multiplicamos o dividimos por un mismo número las pesas o números de un platillo, debemos también multiplicar o dividir por el mismo número el material del otro platillo.
Es más, podemos sumar o restar con los pesos de otra balanza, porque es como sumar o restar la misma cantidad a los dos platillos.
Pero descubrió el hombre, que esta balanza descomunal de hierro y con grandes pesas, se podía reemplazar, en nuestro espacio negro cerebral, con números. Entonces recién se dieron cuenta, al poner y quitar números, que si un número está sumando a un lado, pasa al otro lado restando y viceversa. Si un número está multiplicando a un lado, pasa al otro lado dividiendo y viceversa.
Por ejemplo:
18 = 13 + 5 18 – 5 = 13 12 – 8 = 4 12 = 4 + 8
50 = 25 x 2 50 ÷ 2 = 25 5 x 6 = 30 5 = 30 ÷ 6
¿Y de dónde salen estos signos?
El signo igual son dos rayitas iguales puestas una sobre la otra y vienen a ser los dos platillos de la balanza. (=).
El signo más, es un palito sobre otro palito, lo cuál induce a la suma (+).
El signo menos, es un palito, lo que nos induce a retirar el número (-).
El signo por, son dos palitos cruzados, que fue la simplificación de los varios palitos cruzados, que nos inducían a una multiplicación. (* x).
El signo dividido por, se indicaba por dos cuerpos (:) divididos por un palito (÷) lo cuál induce a una división. También se simplifica este signo con tan sólo una línea entre dos números, que nos dice que el número sobre la raya se debe dividir por el número que está bajo la raya. Ejemplo:
Aún en esta era espacial, se sigue usando la primera máquina calculadora inventada por los humanos, para resolver problemas complicadísimos de energía atómica y de elaboradas finanzas, fue usada por Albert Einstein, en la fórmula de la transformación de la energía; esto es: La energía es igual a la masa por la velocidad de la luz, al cuadrado, o sea:
E = m x c2
Ejemplo: Sumados los pesos de 2 piedras dan 20 kg . Y restados los pesos de estas piedras nos da 4 kg . ¿Cuánto pesa cada piedra?
Solución: Si el peso de una piedra es como a, y el peso de la otra piedra es como b, tendremos dos balanzas o igualdades: a + b = 20 y a – b = 4.
Sumando las dos igualdades, que es como poner todos los pesos en una sola balanza:
a+ b + (a – b) = 20 + 4
O sea que: 2 a = 24
Porque 2, que está multiplicando, pasa al otro lado dividiendo.
Y restando las dos igualdades tendremos:
a + b – (a – b) = 20 – 4 = 16
Luego:
2 b = 16
Luego la piedra a, pesa 12 kg . Y la piedra b, pesa 8 kg .
Comprobando:
12 + 8 = 20
Y 12 – 8 = 4
A la igualdad, o balanza, también se le llama ecuación, término derivado del latín culto aequare, que significa igualar.
Ejercicios.
1. Remando en una canoa a favor de la corriente, se avanza a 8 m/s Y remando contra la corriente, se avanza a sólo 2 m/s ¿Cuál es la velocidad del río y cuál la de la canoa? R. río = 5 m/s canoa = 3 m/s
2. Sumando minuendo, sustraendo y diferencia se obtiene 50. Y restando la diferencia de la suma de los otros dos, se obtiene 30. ¿Cuál es el Minuendo y cuál el Sustraendo? R. Mayor = 40 Menor = 10
3. La suma de dos números es 48 y su diferencia es 36. ¿Cuáles son estos números? R. Mayor = 42 Menor = 6
4. Un terreno tiene 168 m2 y uno de los lados mide 8 m . ¿Cuál será el otro lado?
R. 21 m.
5. La base de un triángulo mide 1.50 m . Si su área es de 0.975 m2 . ¿Cuál será su altura?
Donde A = área 0.975 m2 b = base 1.50 m. R. h = altura = 1.30 m.
6. Se reparte un terreno de 1120 m2 entre varias personas. Si a cada una le toca 160 m2 ¿Cuántas eran las personas? R. 7 m2.
7. Si 85 es igual a cinco veces x ¿Qué número es x? R. x = 5
8. El área del cimiento de un edificio de un piso es de 480000 cm2. El peso del edificio es 96380 kg . ¿Cuántos kg/cm2 soporta el terreno? R. 0.2 kg/cm2
¿Y si fuera de 4 pisos el edificio, cuál sería la presión? R. 0.8 kg/cm2
LOS NÚMEROS PRIMOS
Número primo, es el primero de una serie de números, que gozan de una propiedad, el ser múltiplos del número primo y de la unidad. Primus en latín quiere decir, primero y de ahí se deriva el nombre de primo, que se da a todos los números que son los primeros de su serie.
La unidad es el primo por antonomasia, pues todos los demás números de serie universal, se multiplican por 1 para ingresar en la serie del 1.
Los números primos y sus series son:
1
|
2
|
3
|
5
|
7
|
11
|
13
|
17
|
19
|
23
|
29
|
31
|
37
|
41
|
43
|
47
|
51
|
2
|
4
|
6
|
10
|
14
|
22
|
26
|
34
|
38
|
46
|
58
|
62
|
74
|
82
|
86
|
94
|
102
|
3
|
6
|
9
|
15
|
21
|
33
|
39
|
51
|
57
|
69
|
87
|
93
|
111
|
123
|
129
|
141
|
153
|
4
|
8
|
12
|
20
|
28
|
44
|
52
|
68
|
76
|
92
|
116
|
124
|
148
|
164
|
172
|
188
|
204
|
5
|
10
|
15
|
25
|
35
|
55
|
65
|
85
|
95
|
115
|
145
|
155
|
185
|
205
|
215
|
235
|
255
|
6
|
12
|
18
|
30
|
42
|
66
|
78
|
102
|
114
|
138
|
174
|
186
|
222
|
246
|
258
|
282
|
306
|
7
|
14
|
21
|
35
|
49
|
77
|
91
|
119
|
133
|
161
|
203
|
217
|
259
|
287
|
301
|
329
|
357
|
8
|
16
|
24
|
40
|
56
|
88
|
104
|
136
|
152
|
184
|
232
|
248
|
296
|
328
|
344
|
376
|
408
|
9
|
18
|
27
|
45
|
63
|
99
|
117
|
153
|
171
|
207
|
261
|
279
|
333
|
269
|
387
|
423
|
459
|
10
|
20
|
30
|
50
|
70
|
110
|
130
|
170
|
190
|
230
|
290
|
310
|
370
|
410
|
430
|
470
|
510
|
Como podemos ver en la tabla precedente, el número 2 es el primo de la serie de los números pares. Y todo número que se multiplica por 2 entra a formar parte de los múltiplos del 2 y por lo tanto se convierte en número par.
El siguiente número, el 3 es el primo de los múltiplos de 3, porque todo número que se multiplica por 3 es múltiplo de 3.
El siguiente número 4 ¡no puede ser primo! porque es número secundario en la serie del 2.
El siguiente número el 5, es el primo de la nueva serie de números múltiplos de 5 y no está presente en las series del 2 y del 3.
El siguiente número el 6 ¡no puede ser primo! porque es número secundario de las series del 2 y del 3.
El siguiente número, el 7 es el primo de la nueva serie de números múltiplos de 7 y no se encuentra presente en las series del 2, 3 y 5.
Los siguientes números el 8, 9 y 10 ¡no pueden ser primos! porque son números secundarios en las series de los números primos 2, 3, y 5.
El siguiente número el 11, es el primo de la nueva serie de números múltiplos de 11 y no se encuentra presente en las series del 2, 3, 5, y 7.
Y así podemos seguir con los demás números, hasta el infinito.
El número primo, está presente como factor en todos los números y por lo tanto se puede decir que todo número es el producto de números primos. Por ejemplo; el número 2964 está compuesto por los siguientes números primos:
1482 2
741 3
247 13
19 19
1
La simplificación de las series, es muy útil cuando se quiere saber cuál es la suma de determinada cantidad de números de la serie, pues el enigma de la serie es el siguiente: “la suma de ciertos números de la serie” es igual, al primero más el último, dividido por 2, por la cantidad de números involucrados. Por ejemplo: si queremos saber cuánto suman los números de la serie del 3, del 15 al 33, que son 7 números tendremos:
Comprobamos esto, sumando los 7 números:
15+18+21+24+27+30+33 = 168
Otro ejemplo: ¿Cuánto suman los 10 primeros números pares?
Decimos:
Comprobamos; 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 = 110
Sabemos que la fórmula del área del triángulo es:
¿Cómo podemos demostrar que esta es la verdadera fórmula? (fig. 2)
h=5
|
B=16
|
R.
Fig. 2
El área del triángulo es igual a la suma de paralelas que van de 16 hasta 0, que es el vértice. El número de rayas es de 5, o sea la altura: Por lo tanto el área es:
Que es lo mismo que:
Es decir: El área es igual a la base por altura, dividido 2.
La criba de Eratóstenes es un antiguo y efectivo método para hallar los números primos. Consiste en una tabla de números naturales dispuestos en columnas. Primero se tachan todos los múltiplos de 2. Luego se tachan todos los múltiplos del siguiente número no tachado anteriormente y así sucesivamente. Los números que quedan sin tachar son los números primos. Para determinar si un número es primo se sabe que no hace falta dividirlo por todos los números menores a él. Basta con dividirlo por los números impares mayores que 1 y menores o iguales a la raíz cuadrada del número. Si no se encuentra un divisor, o si el número es par y mayor que 2, entonces el número es compuesto.
La criba de 30 columnas
Tenemos 30 columnas desde el 0 al 9 y las letras ABCDEF 15 a la derecha, y desde la G hasta el 0, GHIJKLMNRST, 15 a la izquierda.
GHIJKLMNORST 0 123456789ABCDEF.
H
|
I
|
J
|
N
|
T
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
B
|
C
|
D
|
1
|
2
|
3
|
5
|
7
|
11
|
13
| |||||||||
17
|
19
|
23
|
29
|
31
|
37
|
41
|
43
| ||||||||
47
|
53
|
59
|
61
|
67
|
71
|
73
| |||||||||
79
|
83
|
89
|
97
|
101
|
103
| ||||||||||
107
|
109
|
113
|
127
|
131
| |||||||||||
137
|
139
|
149
|
151
|
157
|
163
| ||||||||||
167
|
173
|
179
|
181
|
191
|
193
| ||||||||||
197
|
199
|
211
|
223
| ||||||||||||
227
|
229
|
233
|
239
|
241
|
251
| ||||||||||
257
|
263
|
269
|
271
|
277
|
281
|
283
| |||||||||
293
|
307
|
311
|
313
| ||||||||||||
317
|
331
|
337
| |||||||||||||
347
|
349
|
353
|
359
|
367
|
373
| ||||||||||
379
|
383
|
389
|
397
|
401
| |||||||||||
409
|
419
|
421
|
431
|
433
| |||||||||||
439
|
443
|
449
|
457
|
461
|
463
| ||||||||||
467
|
479
|
487
|
491
| ||||||||||||
499
|
503
|
509
|
521
|
523
| |||||||||||
541
|
547
| ||||||||||||||
557
|
563
|
569
|
571
|
577
| |||||||||||
587
|
593
|
599
|
601
|
607
|
613
| ||||||||||
617
|
619
|
631
|
641
|
643
| |||||||||||
647
|
653
|
659
|
661
|
673
| |||||||||||
677
|
683
|
691
|
701
| ||||||||||||
709
|
719
|
727
|
733
| ||||||||||||
739
|
743
|
751
|
757
|
761
| |||||||||||
769
|
773
|
787
| |||||||||||||
797
|
809
|
811
|
821
|
823
| |||||||||||
827
|
829
|
839
|
853
| ||||||||||||
857
|
859
|
863
|
877
|
881
|
883
| ||||||||||
887
|
907
|
911
| |||||||||||||
919
|
929
|
937
|
941
| ||||||||||||
947
|
953
|
967
|
971
| ||||||||||||
977
|
983
|
991
|
997
| ||||||||||||
Agrupando los números primos en 30 columnas vemos que se juntan en parejas, mostradas en amarillo, pero no se puede dar una regla o fórmula, para esta forma de agrupación, porque hay números primos que escapan a la regla.
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